地方のメガバンクの支社と地方銀行でクライアントはどの程度かぶるものなのでしょうか？やはり営業の激しい争いがどの地方もあるものなのでしょうか？

地元の有力企業の場合はほぼ100%、そうでなくても被ることは多いです。
これは都市部でも同様です。昔は東京ではなく首都圏にあったけれど、規模が大きくなって東京に出てきた今でも地元の銀行のシェアが高い事は多いです。
ですが、被る事と営業の争いが起こる事は必ずしも同義ではありません。
基本的に融資やM&A等の財務的な話は規模の大小問わず最初はメインバンクにいきます。そこが取りきれないリスクや、取るべきでないと判断したリスクに関して企業から銀行へ、あるいはメインバンクから企業を通して他の銀行へ融資の依頼が来るといった流れです。（ちなみに他の銀行と協調して融資を行う形をシンジケートローンと言います。大型店では日常茶飯事です。）
何か困った時に力を貸してもらえるように企業は銀行との繋がりを大切にします。
例えばシェア3位の銀行がいい提案をしてきたとすると、それが採用される事もあれば、メインバンクに「こういう提案受けてるんだけど、これより良い条件で出来ない？」といった話がいき、メインバンクが案件を取るといった事もあります。もちろん、シェアが下の銀行を蔑ろにするといざという時に助けてもらえなくなるので、良い提案をしてくれたから次はおたくから借りるね！のような義理の貸し借りをする事が多いです。
銀行は何もかも横並びの業界です。空気が読める（他の銀行の動きや与信のスタンスを把握する）前提であえて攻め込む動きは評価されますが、必ずしも良い提案が数字に繋がる世界ではない事をご理解頂ければと思います。