バルジとブティックの違いみたいな話でよく「会社のバランスシートを使う」という表現を見かけますが、これはどういう意味でしょう？

「会社のバランスシートをつかう」というのは、会社が自分自身の保有するキャッシュ等を使って投融資するケースです。「投資銀行の自己勘定投資」と言われるものです。それと対比されるのは他人の身代わりで投資を実行することです。
例えば機関投資家がA社の株を買いたいと思った時には証券会社によろしく！と頼むケースは、証券会社は機関投資家のかわりにA社の株を買うだけなので、バランスシートは使っていません。一方で、証券会社の自己勘定投資とは、誰かのかわりでなく証券会社自身がリスクを取ってA社の株を買い占めたら、これはバランスシートを使った、と言えます。