私は理系の修士1年です。参加できるインターンが増えてきたものの、研究と被ることが増えて予定よりも研究の進捗が大幅に遅れてしまっている状態です。しかし一方で、インターンは何かしら早期選考につながるのではという期待から、参加を断れずにいます。どのように優先順位をつければ良いかアドバイスいただけますと幸いです。

客観的に見た研究の成果によると思います。

就活ではご自身の研究の事に触れられると思いますが、学会で発表できる程度の研究データが揃っていれば、充分対応可能です。
この場合研究をあせる必要はないでしょう。

一方で面接で話せるようなデータがない場合、インターンより研究に力を入れた方がよいでしょう。
先輩やネットの情報等で各企業におけるインターンの重要性はある程度推察できると思いますので、取捨選択して重要度の高そうなインターンにのみ応募するようにすれば良いと思います。

そもそも理系の場合、文系に比べてインターンの重要度はそこまで高くない所感があります。
そのためもし選択を迷うならば、研究に力を入れるべきだと考えます。